“你能解釋一下時域、頻域和模態空間的區別嗎？我經常聽到這些詞，但我不知道怎么區別這些詞。”

“要理解區別這些詞需要解釋很多，讓我們先從簡單的開始?！?/p>

不用太多的數學知識，讓我們用一個簡單的示意圖來解釋這些。我們用下面這張圖來討論時域、頻域、模態空間和物理空間的定義和區別。

我們的研究對象是一根懸臂梁，梁的末端由脈沖激發。梁的響應（黑色時域信號）是所有振型的疊加。對時域信號進行傅里葉變換，轉換成頻域信號，這個過程需要大量的數學運算。轉換后的頻域信號通常稱為頻率響應函數或FRF（黑色頻域信號），圖中的幾個峰值對應懸臂梁的固有頻率。

在我們進一步討論時域信號和頻域信號之前，讓我們先討論一下圖中左上角的物理模型。我們知道懸臂梁有多個固有頻率，每個固有頻率都有對應的振動型態，稱為模態。在模態軟件圖中懸臂梁的一階模態用藍色繪制，二階模態用紅色繪制，三階模態用綠色繪制，還有更高階的模態在圖中沒有展示。現在我們只討論前三階模態，但很容易擴展到更高階的模態。

現在，物理梁可以用圖中右上角的集中質量模型或有限元模型來分析。這個模型通常使用一些方程來描述，方程中不同的點或自由度之間存在相互耦合關系。這意味著，如果模型中一個自由度發生擾動，會對其它的自由度產生影響。系統越復雜，則描述系統的方程數量越多。通常我們用矩陣來組織所有的運動方程來描述系統的行為：

其中，[M]、[C]、[K]分別表示質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，分別和加速度、速度、位移相乘，方程的右邊是施加在系統上的力。通常質量矩陣是一個對角矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣是對稱矩陣，用非對角項表示系統不同方程或自由度之間的耦合。矩陣的階數取決于我們描述系統方程的數量。我們使用模態變換矩陣將這些耦合方程轉換成一組由呈對角分布的質量、阻尼、剛度矩陣描述的非耦合單自由度系統，我們稱這個新的坐標系統為模態空間：

因此，利用模態變換矩陣從物理空間變換到模態空間的過程，是一個將一組復雜的耦合物理方程轉換為一組簡單的非耦合單自由度系統方程的過程。從圖中可以看出，分析模型可以分解為一組單自由度系統，其中描述一階模態的單自由度系統用藍色繪制，二階模態用紅色繪制，三階模態用綠色繪制。模態空間允許我們用簡單的單自由度系統來描述復雜系統。

現在，讓我們回到用黑色繪制的時域信號和頻域信號。我們知道每階模態對總響應都有貢獻，黑色繪制的頻率響應來自藍色繪制的一階模態響應、紅色繪制的二階模態響應、綠色繪制的三階模態響應的疊加。相應地，總的時域信號也是由各階模態的時域信號疊加而來。我們將分析模型分解為一組單自由度系統，我們可以確定每個單自由度系統的FRF。

我們應該清楚時域、頻域、物理空間和模態空間本質上沒有區別，只是數據的不同查看方式。有時候，模態空間和頻域更能看清數據。例如，總時間響應不能確定共有多少階模態對梁的響應有貢獻，但在頻域里顯示的頻響函數能顯示有多少階模態被激活，并且能看清每階模態對應的固有頻率。