“你能解釋一下時域、頻域和模態(tài)空間的區(qū)別嗎？我經(jīng)常聽到這些詞，但我不知道怎么區(qū)別這些詞。”

“要理解區(qū)別這些詞需要解釋很多，讓我們先從簡單的開始。”

不用太多的數(shù)學(xué)知識，讓我們用一個簡單的示意圖來解釋這些。我們用下面這張圖來討論時域、頻域、模態(tài)空間和物理空間的定義和區(qū)別。

我們的研究對象是一根懸臂梁，梁的末端由脈沖激發(fā)。梁的響應(yīng)（黑色時域信號）是所有振型的疊加。對時域信號進(jìn)行傅里葉變換，轉(zhuǎn)換成頻域信號，這個過程需要大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算。轉(zhuǎn)換后的頻域信號通常稱為頻率響應(yīng)函數(shù)或FRF（黑色頻域信號），圖中的幾個峰值對應(yīng)懸臂梁的固有頻率。

在我們進(jìn)一步討論時域信號和頻域信號之前，讓我們先討論一下圖中左上角的物理模型。我們知道懸臂梁有多個固有頻率，每個固有頻率都有對應(yīng)的振動型態(tài)，稱為模態(tài)。在模態(tài)軟件圖中懸臂梁的一階模態(tài)用藍(lán)色繪制，二階模態(tài)用紅色繪制，三階模態(tài)用綠色繪制，還有更高階的模態(tài)在圖中沒有展示。現(xiàn)在我們只討論前三階模態(tài)，但很容易擴(kuò)展到更高階的模態(tài)。

現(xiàn)在，物理梁可以用圖中右上角的集中質(zhì)量模型或有限元模型來分析。這個模型通常使用一些方程來描述，方程中不同的點或自由度之間存在相互耦合關(guān)系。這意味著，如果模型中一個自由度發(fā)生擾動，會對其它的自由度產(chǎn)生影響。系統(tǒng)越復(fù)雜，則描述系統(tǒng)的方程數(shù)量越多。通常我們用矩陣來組織所有的運(yùn)動方程來描述系統(tǒng)的行為：

其中，[M]、[C]、[K]分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，分別和加速度、速度、位移相乘，方程的右邊是施加在系統(tǒng)上的力。通常質(zhì)量矩陣是一個對角矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣是對稱矩陣，用非對角項表示系統(tǒng)不同方程或自由度之間的耦合。矩陣的階數(shù)取決于我們描述系統(tǒng)方程的數(shù)量。我們使用模態(tài)變換矩陣將這些耦合方程轉(zhuǎn)換成一組由呈對角分布的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣描述的非耦合單自由度系統(tǒng)，我們稱這個新的坐標(biāo)系統(tǒng)為模態(tài)空間：

因此，利用模態(tài)變換矩陣從物理空間變換到模態(tài)空間的過程，是一個將一組復(fù)雜的耦合物理方程轉(zhuǎn)換為一組簡單的非耦合單自由度系統(tǒng)方程的過程。從圖中可以看出，分析模型可以分解為一組單自由度系統(tǒng)，其中描述一階模態(tài)的單自由度系統(tǒng)用藍(lán)色繪制，二階模態(tài)用紅色繪制，三階模態(tài)用綠色繪制。模態(tài)空間允許我們用簡單的單自由度系統(tǒng)來描述復(fù)雜系統(tǒng)。

現(xiàn)在，讓我們回到用黑色繪制的時域信號和頻域信號。我們知道每階模態(tài)對總響應(yīng)都有貢獻(xiàn)，黑色繪制的頻率響應(yīng)來自藍(lán)色繪制的一階模態(tài)響應(yīng)、紅色繪制的二階模態(tài)響應(yīng)、綠色繪制的三階模態(tài)響應(yīng)的疊加。相應(yīng)地，總的時域信號也是由各階模態(tài)的時域信號疊加而來。我們將分析模型分解為一組單自由度系統(tǒng)，我們可以確定每個單自由度系統(tǒng)的FRF。

我們應(yīng)該清楚時域、頻域、物理空間和模態(tài)空間本質(zhì)上沒有區(qū)別，只是數(shù)據(jù)的不同查看方式。有時候，模態(tài)空間和頻域更能看清數(shù)據(jù)。例如，總時間響應(yīng)不能確定共有多少階模態(tài)對梁的響應(yīng)有貢獻(xiàn)，但在頻域里顯示的頻響函數(shù)能顯示有多少階模態(tài)被激活，并且能看清每階模態(tài)對應(yīng)的固有頻率。