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前言

2019年7月，美國(guó)專利局批準(zhǔn)了美國(guó)晶鉆儀器公司的一項(xiàng)發(fā)明專利，該項(xiàng)專利把多分辨頻譜分析技術(shù)用于模態(tài)分析和其他振動(dòng)分析和控制領(lǐng)域。發(fā)明人 是晶鉆儀器公司的創(chuàng)始人James Zhuge 博士和 Jeff Zhao 博士，美國(guó)專利局申請(qǐng)?zhí)?/span> 15/668,995。本文是關(guān)于該發(fā)明的一部分描述和幾個(gè)具體應(yīng)用。

機(jī)械結(jié)構(gòu)和聲學(xué)應(yīng)用中的很多問(wèn)題要求譜分析采用非均勻的頻率分辨率。在這些應(yīng)用中，我們更傾向于用對(duì)數(shù)刻度來(lái)描述頻率軸，由此低頻段有比高頻段更高的頻率分辨率。在介紹之后我們會(huì)討論一些例子。

在CI產(chǎn)品描述0001《動(dòng)態(tài)信號(hào)分析技術(shù)》[2]中，我們討論了各種頻譜是如何計(jì)算的，包括線性譜、自譜、互譜、相位譜、相關(guān)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)。在現(xiàn)代動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀產(chǎn)品中，這些譜都是通過(guò)Cooley-Tukey FFT算法計(jì)算的[1]。

離散傅里葉變換（DFT）的基本公式：

其中，

x(n) 時(shí)域波形樣本

n 樣本下標(biāo)

N 樣本總數(shù)

k 有限分析頻率，對(duì)應(yīng)FFT中心

X(k) x(n)的離散傅里葉變換形式

在多數(shù)情況下，我們采用基數(shù)為2的FFT算法，要求樣本總數(shù)是2的整數(shù)冪。

圖1 FFT算法結(jié)構(gòu)的一個(gè)例子

FFT的一個(gè)顯著特點(diǎn)是將采樣率均勻的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域信號(hào)會(huì)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生均勻的頻率分辨率。頻率分辨率dF，是時(shí)域塊信號(hào)的時(shí)長(zhǎng)和塊大小N乘積的倒數(shù)。比如，將FFT應(yīng)用到時(shí)長(zhǎng)0.5s、塊大小N=1024的時(shí)域塊信號(hào)，那么頻率分辨率為1/(0.5 sec * 1024) = 0.001953125 Hz。

時(shí)域信號(hào)經(jīng)FFT變換后，頻譜的頻率分辨率在分析頻率范圍內(nèi)應(yīng)均勻分布。10Hz處的頻率分辨率和1000Hz處的頻率分辨率相等。當(dāng)分析中要求采用非均勻分布的頻率分辨率時(shí)，基于FFT的譜分析就不適用了。

DFT計(jì)算次數(shù)的量級(jí)是N*N，F(xiàn)FT計(jì)算次數(shù)的量級(jí)是NlogN，其中N是時(shí)域信號(hào)的塊大小。如果1965年Cooley和Tukey沒(méi)有發(fā)明出FFT算法，人們會(huì)使用效率較低的離散傅里葉變換（DFT）算法進(jìn)行譜分析。DFT的優(yōu)點(diǎn)是頻譜的分辨率不必均勻分布。實(shí)際上，在做DFT變換時(shí)，頻率分辨率可以任意分布，從這一點(diǎn)看DFT算法似乎優(yōu)于FFT算法，然而DFT的計(jì)算花費(fèi)太高了。

如果我們能夠找到一種計(jì)算效率和FFT一樣高，并且可以使頻譜的分辨率非線性分布（尤其是對(duì)數(shù)分布）的算法，將會(huì)是革命性的。

經(jīng)過(guò)20多年的研發(fā)，晶鉆儀器公司成功將多分辨率頻譜分析方法引入并應(yīng)用到其多個(gè)產(chǎn)品中，包括CI隨機(jī)振動(dòng)控制器、動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀和模態(tài)分析軟件。多分辨率頻譜分析方法解決上述提到的問(wèn)題并具有一系列的優(yōu)點(diǎn)，這篇文章將討論它的應(yīng)用和結(jié)果。

在這一節(jié)，我們討論幾個(gè)要求采用非均勻頻率分辨率的例子。

音樂(lè)頻率

鋼琴鍵盤上不同音調(diào)的頻率不是沿線性尺度均勻分布，而是沿對(duì)數(shù)尺度均勻分布。

其他樂(lè)器的音調(diào)具有和鋼琴相似的頻率分布。人們根據(jù)頻率來(lái)區(qū)分所聽(tīng)到聲音的音調(diào)，這在對(duì)數(shù)尺度上很容易描述。

第n個(gè)鍵的頻率的計(jì)算公式如下：

（a’=A4=A440是標(biāo)準(zhǔn)鋼琴的第49個(gè)鍵）

上式可以寫成：

反過(guò)來(lái)，從標(biāo)準(zhǔn)鋼琴頻率440Hz開(kāi)始，可以用如下公式計(jì)算鋼琴的鍵號(hào)：

用戶希望使用動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀采集鋼琴聲音的時(shí)域信號(hào)，并對(duì)不同的聲調(diào)進(jìn)行精確分析。由于人們聽(tīng)到兩個(gè)聲調(diào)的區(qū)別主要是由兩個(gè)頻率大小的比率而不是兩個(gè)頻率大小的差引起的，那么就要求27.5Hz處的頻率分辨率比1760Hz處的高。如果頻譜分析儀在分析頻率范圍內(nèi)分辨率都為1Hz，那么1760Hz的頻率讀數(shù)誤差小于0.1%，而27.5Hz的誤差可高達(dá)3%。這個(gè)例子告訴我們，設(shè)計(jì)一個(gè)可以提供頻率分辨率沿對(duì)數(shù)尺度均勻分布，而不是像FFT一樣沿線性尺度均勻分布的信號(hào)分析儀，將會(huì)是更好的解決方案。

共振頻率的阻尼估計(jì)

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程是

對(duì)應(yīng)的臨界阻尼系數(shù)為

或者寫為

其中是結(jié)構(gòu)的固有頻率。

利用固有頻率和阻尼比的定義，可以把動(dòng)力學(xué)方程寫成

阻尼比是無(wú)量綱的。

阻尼是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素。阻尼比ζ決定共振的強(qiáng)度，可以通過(guò)頻響函數(shù)測(cè)幅值計(jì)算得到。結(jié)構(gòu)的阻尼比主要由材料決定，例如塑料的阻尼比比鋼要高得多。換句話說(shuō)，給定材料的阻尼比通常在一定范圍內(nèi)。

下表是幾種材料的粘性阻尼比[3]:

現(xiàn)在我們來(lái)看看如何用FFT信號(hào)分析儀來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)的阻尼比。利用FFT信號(hào)分析儀，可以計(jì)算出響應(yīng)和激勵(lì)之間的頻響函數(shù)（FRF）。通常響應(yīng)由安裝在結(jié)構(gòu)上的加速度傳感器測(cè)得，激勵(lì)是力錘或振動(dòng)臺(tái)對(duì)結(jié)構(gòu)施加的力。

FRF可以通過(guò)文獻(xiàn)2中的方法計(jì)算得到。一個(gè)典型的FRF波德圖如下：

一種確定阻尼比的方法是在頻響函數(shù)共振頻率處采用“3dB法”，也稱“半功率法”。阻尼和FRF共振峰峰值往下取3dB左右兩邊的頻率寬度成正比。

通過(guò)公式Q = f0/(f2-f1)求得阻尼因子，其中

f0  共振峰頻率

f2  共振峰往下取3dB右側(cè)所對(duì)應(yīng)的頻率

f1  共振峰往下取3dB左側(cè)所對(duì)應(yīng)的頻率

衰減因子

Q 阻尼因子

ζ 阻尼比

%Cr 臨界阻尼百分?jǐn)?shù)（%Cr=100%xζ）

? 周期應(yīng)力和應(yīng)變的相位角

為了計(jì)算阻尼因子Q = f0/(f2-f1)，需要確定三個(gè)頻率：FRF峰值所對(duì)應(yīng)的頻率f0以及峰值下降3dB所對(duì)應(yīng)的頻率f2和f1。頻率分辨率在計(jì)算中起關(guān)鍵作用，因?yàn)榉直媛什蛔悖?jì)算出的Q值出現(xiàn)多個(gè)數(shù)量級(jí)的偏差的現(xiàn)象是很常見(jiàn)的。

對(duì)于特定的材料，其阻尼比ζ在一定的范圍內(nèi)，頻譜分析要求在較低的共振頻率處具有更高分辨率。舉個(gè)例子，假設(shè)某種材料的阻尼比約為0.001，當(dāng)共振頻率為1000Hz時(shí)，f2和f1處的頻率分辨率必須小于1Hz，當(dāng)共振頻率為10Hz，f2和f1處的頻率分辨率必須小于0.01Hz。

振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)控制

在許多振動(dòng)控制測(cè)試中，頻率軸通常是用對(duì)數(shù)刻度而不是線性刻度繪制的。下面兩圖是Mil-810中典型的測(cè)試配置目標(biāo)譜：

在介紹多分辨率頻譜分析法之前，我們知道目前市場(chǎng)上所有振動(dòng)控制器都使用在分析頻率范圍內(nèi)頻率分辨率均勻的FFT算法。換句話說(shuō)，我們將多分辨率頻譜分析法應(yīng)用到振動(dòng)控制器上是史無(wú)前例的。

多分辨率頻譜分析介紹

由晶鉆儀器公司研發(fā)的多分辨率頻譜分析方法是對(duì)單通FFT的一種改進(jìn)。它的基本原理是對(duì)相同的輸入時(shí)間流信號(hào)進(jìn)行兩通或多通的FFT變換，然后在頻域中合成一個(gè)頻譜。下圖兩通FFT的工作示意圖：

當(dāng)多個(gè)通道的時(shí)域信號(hào)輸入時(shí)，信號(hào)處理器將分塊接收，并通過(guò)FFT將時(shí)域塊信號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域信號(hào)。同時(shí)，對(duì)原始時(shí)域信號(hào)應(yīng)用濾波器，生成較低頻率的時(shí)域信號(hào)。FFT的第二通對(duì)較低頻率的時(shí)域信號(hào)使用較高分辨率的FFT變換，生成頻譜。最后，信號(hào)處理器將兩組頻譜綜合在一起，合成的頻譜有兩種不同的頻率分辨率，一種為dF，另一種為dF/M，其中M是采樣因子。

上面我們簡(jiǎn)單地描述了多分辨率頻譜分析法的過(guò)程，然而實(shí)現(xiàn)起來(lái)是非常復(fù)雜的，有很多細(xì)節(jié)需要考慮，包括：

1. 如何進(jìn)行重疊處理?
2. 使用哪種類型的濾波器，F(xiàn)IR還是IIR?

3.濾波器的濾波延時(shí)會(huì)有什么影響?

4. 濾波器的相位畸變會(huì)有什么影響?
5. 采樣因子從2、4、8中選取還是取其它的值?
6. 如何將平均應(yīng)用于多通FFT?
7. 這種方法對(duì)什么類型的信號(hào)適用?對(duì)什么類型的信號(hào)不適用？
8. 如何將數(shù)據(jù)窗口應(yīng)用于多通時(shí)域信號(hào)?

晶鉆儀器公司的產(chǎn)品在應(yīng)用多分辨率頻譜分析方法時(shí)，上述問(wèn)題都得到了解決。產(chǎn)品軟件不僅可以進(jìn)行多分辨率頻譜分析，還可以存儲(chǔ)數(shù)據(jù)、顯示結(jié)果和生成報(bào)告。

抽樣過(guò)程中生成連續(xù)的時(shí)間流信號(hào)，因此連續(xù)信號(hào)比瞬態(tài)信號(hào)更適合使用多分辨率頻譜分析法。例如，錘擊試驗(yàn)通過(guò)產(chǎn)生瞬態(tài)信號(hào)來(lái)計(jì)算FRF，它就不適合使用多分辨率頻譜分析法。

將多分辨率頻譜分析法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。

多分辨率分析在模態(tài)分析的應(yīng)用

我們通過(guò)一個(gè)模態(tài)試驗(yàn)來(lái)比較多分辨率頻譜和單分辨率頻譜，模態(tài)分析軟件為晶鉆儀器自主研發(fā)的EDM Modal。被測(cè)結(jié)構(gòu)是一塊鋼板，用彈簧繩垂直懸掛，以模擬自由邊界條件。用振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生的白噪聲來(lái)激勵(lì)鋼板，用單軸加速度傳感器采集鋼板的響應(yīng)信號(hào)。下面描述測(cè)試配置的詳細(xì)信息：采樣率51.2kHz，分析頻率范圍23kHz以內(nèi)，塊大小4096，譜線數(shù)1800，頻率分辨率12.5Hz，通過(guò)漢寧窗減少信號(hào)泄露，用平均次數(shù)為32的線性平均模式來(lái)計(jì)算譜。利用多分辨率頻譜分析在低頻段獲得1.56Hz（12.5Hz的1/8）的分辨率。低頻段和高頻段的劃分頻率是2812.5Hz。在低頻段，由于分辨率提高，多分辨率譜的結(jié)果更好。在高頻段，多分辨率頻譜和單分辨率頻譜具有相同的頻率分辨率，因此得到相似的結(jié)果。多分辨率頻譜和單分辨率頻譜其它配置都相同。

下圖是整個(gè)頻率范圍內(nèi)的多分辨率譜和單分辨率譜：

對(duì)多分辨率頻譜的高分辨率段進(jìn)行放大，和單分辨率頻譜相比，得到如下頻譜圖：

在低頻段，多分辨率頻譜比單分辨率頻譜分辨率要高得多。從圖中可以看出，多分辨率頻譜由于塊大小更大、譜線數(shù)更多，峰值顯示更清晰。多分辨率頻譜比單分辨率頻譜的頻響函數(shù)曲線更光滑整潔。這有助于更好的計(jì)算FRF的質(zhì)量因子和峰值。如下表所示，從表中可以看出，在低頻段出現(xiàn)四種共振頻率，在多分辨率頻譜下Q和FRF峰值要高很多。此外，在高頻段，由于單分辨率譜和多分辨率譜的分辨率是相同的，因此Q和FRF峰值也非常接近。常規(guī)FFT變換的Q和FRF峰值與真實(shí)值相差十個(gè)或數(shù)百個(gè)數(shù)量級(jí)，如果人們用這些錯(cuò)誤的值進(jìn)行分析，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，得出結(jié)果必然是錯(cuò)誤的。

多分辨率分析在隨機(jī)振動(dòng)控制的應(yīng)用

將多分辨率頻譜分析方法進(jìn)一步應(yīng)用到振動(dòng)測(cè)試控制系統(tǒng)中，這意味著將通過(guò)基于多分辨率頻譜分析方法的頻譜計(jì)算輸出信號(hào)。為了在保持合理的反饋控制時(shí)間內(nèi)同時(shí)提高低頻段和高頻段的控制性能，可以在控制過(guò)程中對(duì)低頻段和高頻段應(yīng)用不同的頻率分辨率。晶鉆儀器公司的隨機(jī)振動(dòng)控制器產(chǎn)品將多分辨率頻譜分析法應(yīng)用于計(jì)算所有功率譜、傳遞函數(shù)矩陣和振動(dòng)臺(tái)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

由于低頻段的驅(qū)動(dòng)信號(hào)計(jì)算包含很多的細(xì)節(jié)，因此我們需要對(duì)低頻段使用更高的頻率分辨率。初始階段將用戶定義的目標(biāo)譜分成高頻和低頻兩段。晶鉆儀器公司的Spider-81振動(dòng)控制器將在這兩段目標(biāo)譜上工作。

下面我們對(duì)單分辨率頻譜控制和多分辨率頻譜控制進(jìn)行比較。下圖FFT譜線數(shù)為400，頻率范圍2kHz。單分辨率頻譜只有5Hz一種頻率分辨率，多分辨率頻譜低頻段分辨率為0.625Hz，高頻段分辨率為5Hz。圖中綠線為目標(biāo)譜，黑線為單分辨率頻譜控制曲線，藍(lán)線是多分辨率頻譜控制曲線。

我們將單分辨率頻譜和多分辨率頻譜的控制曲線分開(kāi)繪制。顯然，多分辨率頻譜比單分辨率頻譜控制得好。

結(jié)論

信號(hào)分析儀采用FFT算法對(duì)時(shí)域信號(hào)變換后，生成的頻譜只有均勻的頻率分辨率。然而，機(jī)械結(jié)構(gòu)和聲學(xué)應(yīng)用中的很多問(wèn)題要求頻譜在低頻段有更高的頻率分辨率。由晶鉆儀器公司研發(fā)的多分辨率頻譜分析法可以將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成具有兩種以上的頻率分辨率的頻譜。該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于隨機(jī)振動(dòng)控制、動(dòng)態(tài)信號(hào)分析和模態(tài)測(cè)試中，可以大大提高分析精度。

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參考文獻(xiàn)

[1]. Cooley, James W.; Tukey, John W. (1965). “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”. Mathematics of Computation. 19 (90): 297–301. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1. ISSN 0025-5718.

[2]. Dynamic Signal Analysis Basics (Product Note #001, 32 pages, 1.1 MB, Crystal Instruments)
Describes the basic dynamic signal analysis theory including Fourier Transform, data windowing, linear spectrum, power spectrum, cross spectrum, FRF and coherence, averaging, transient capture and hammer test, overlapping process, SDOF system. Read online here.

[3]. V. Adams and A. Askenazi, Building Better Products with Finite Element Analysis, OnWord Press, Santa Fe, N.M., 1999.

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